دانلود مقاله بررسی سیستم اعداد ماندهای (باقیمانده)
| دسته بندی | علوم پایه |
| فرمت فایل | doc |
| حجم فایل | 151 کیلو بایت |
| تعداد صفحات فایل | 26 |
مقاله بررسی سیستم اعداد ماندهای (باقیمانده) در 26 صفحه ورد قابل ویرایش
فهرست
عنوان صفحه
1-1) مقدمه...................................................................................................... 2
2-1) عملیات ریاضی........................................................................................ 7
1-2-1) معکوس ضرب................................................................................... 10
3-1) سیستم اعدادمبنای در هم وابسطه......................................................... 12
4-1) تبدیل اعداد به سیستم اعداد ماندهای و برعکس..................................... 22
1-4-1-) تبدیل اعداد از سیستم باینری به سیستم ماندهای .......................... 24
5-1) انتخاب پیمانه........................................................................................... 26
سیستم اعداد ماندهای (باقیمانده)
سیستم اعداد ماندهای یک سیستم اعداد صحیح است، که مهمترین ویژگی‌اش بطور ذاتی انتقال رقم نقلی مجازی در جمع و ضرب و تفریق‌هاست، همچنین نتجه جمع و تفریق و ضرب اعداد ما در مرحله اول بدون در نظر گرفتن طول اعداد مشخص می‌شود، متأسفانه در سیستم اعداد ماندهای عملیات ریاضی دیگری مانند تقسیم و مقایسه و شناسایی علامت خیلی پیچیده و کند هستند از مشکلات دیگر سیستم اعداد ماندهای این است که چون با سیستم اعداد صحیح کار می‌کند در نتیجه نمایش اعداد اعشاری در سیستم اعداد ماندهای خیلی ناجور است با توجه به خواص سیستم اعداد ماندهای نتیجه می‌گیریم که در اهداف عمومی کامپیوترها (ماشین حساب‌ها) به صورت کاملاً جدی نمی‌تواند مطرح بشود. بهرحال ، برای بعضی از کاربرها که اهداف خاصی دارند مثل بسیاری از انواع فیلترهای دیجیتال، تعداد جمع و ضرب‌هایی که اساساً بزرگتر تعداد و درخواست بزرگی دامنه و شناسایی سرریز، تقسیم و شبیه این‌ها، سیستم اعداد باقیمانده خیلی جذاب و جالب می‌تواند باشد.
1-1) مقدمه
سیستم اعدادمانده‌ای اساساً بوسیله یک مبنای چندتائی (N - تائی) و نه یک مبنای واحد مثل از اعداد صحیح مشخص می‌شود. هر کدام از ها باقیمانده پس از تقسیم یک عدد بر آنها است.عدد صیح X در سیستم اعداد ماندهای بوسیلة یک N -تائی مثل نمایش داده می‌شود که هر یک عدد غیرمنفی صحیح است که در رابطة زیر صادق است:
|
|
|
X |
|
0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 |
2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 |
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 |
جدول 1-1 نمایش اعداد در سیستم اعداد ماندهای به پیمانة
بزرگترین عدد صحیحی است بطوریکه معروف است به باقیمانده X به پیمانة Mi ، و در روش نوشتن اعداد هر دو و با یک مفهوم استفاده می‌شوند.
-1 سیستم اعداد مبنای در هم وابسطه
با نمایش سیستم اعداد اعداد ماندهای به صورت سیستم اعداد مبنای درهم وابسطه انجام برخی از عملیات ها از جمله شناسایی سرریز، شناسایی علامت و دامنه مقایسه راحت‌تر می‌شود. سیستم اعداد مبنای درهم وابسطه یک سیستم وزنی است، اگر عدد X در سیستم اعداد ماندهای با پیمانة به صورت نشان داده شده باشد آنگاه این عدد در سیستم اعداد مبنای درهم وابسطه به صورت زیر نشان داده می‌شود.
بطوریکه
وجود یک سیستم اعداد وزنی نشان دهنده این مطلب است که دامنه مقایسه شان خطی است. به عنوان نمونه با توجه به مثال زیر:
|
سیستم اعداد مبنای در هم وابسطه |
سیستم اعداد ماندهای با پیمانة |
|
||
|
0 1 0 1 0 1 |
0 0 1 1 2 2 |
0 1 0 1 0 1 |
0 1 2 0 1 2 |
0 1 2 3 4 5 |
که مقدار عدد در این سیستم مبنای در هم وابسطه بر اساس زوج هست:
مثال 4-1
یک سیستم اعداد ماندهای به پیمانة داریم،حال در سیستم اعداد منبای در هم وابسطه به این سیستم هر عدد بوسیلة یک چهارتایی به شکل نمایش داده می‌شود که مقداری که برمی‌گرداند عبارت است از
به عنوان مثال:
یک سیستم اعداد ماندهای داریم که در این سیستم M برابر با 210 می‌باشد (چون که دو به دو پیمانه‌ها نسبت به هم اول هستند. حال اگر بخواهیم دو عدد 206 و 7 را در این سیستم جمع کنیم آنگاه:
|
2) |
3 |
5 |
(7 |
|
|
0) |
2 |
1 |
(3 |
206 |
|
1) |
1 |
2 |
(0 |
+ 7 |
|
1) |
3 |
3 |
(3 |
باید 213 باشد ولی 3 است . |
|
1) |
0 |
3 |
(3 |
|
جمع این دو عدد در این سیستم اعداد ماندهای عدد 3 را بر می‌گرداند که جواب اشتباه است و این اشتباه به خاطر سرریز است.
حال برای اینکه ما بتوانیم سرریز را شناسایی کنیم اگر که یک پیمانه اضافه بگیریم این امکان پذیر می‌باشد مثلاً در سیستم اعداد ماندهای قبلی اگر که ما را اضافه کنیم یعنی یک سیستم اعداد ماندهای با پیمانة داشته باشیم آنوقت امکان شناسایی سریز را داریم به عنوان مثال جمع دو عدد 206 و 7 در این سیستم
|
2) |
3 |
5 |
7 |
(11 |
|
|
|
0) |
2 |
1 |
3 |
(8 |
206 |
|
|
1) |
1 |
2 |
0 |
(7 |
+ 7 |
|
|
1) |
3 |
3 |
3 |
(15 |
|
|
|
1) |
0 |
3 |
3 |
(4 |
|
|
حال اگر را به سیستم اعداد مبنای در هم رابطه ببریم:
بنابراین ما اهداف زیر را دنبال می کنیم:
1- مجموع تعداد بیت ها تشکیل دهنده پیمانه ها در سیستم اعداد باینری باید کم باشد.
2- برای سادگی اجرای عملیات ریاضی روی آنها، کد باینری راحتی داشته باشند.
کوچکترین تعداد بیتی که برای نمایش پیمانه در سیستم اعداد دودویی نیاز است برابر است با بنابراین ما ماکزیمم استفاده در حافظه را موقعی که پیمانه ها توانی از 2 باشند مثلا و یا خیلی نزدیک به این مثل .
به روشنی مشخص است که پیمانه هایی که انتخاب می کنیم فقط یکی شان می تواند توانی از دو باشد چونکه طبق تعریف اولیه باید دو به دو نسبت به هم اول باشند ما پس از اینکه را انتخاب کردیم انتخاب های بعدی مان را می توانیم به صورت انجام داد که البته باز هم مقدار کمی پیمانه به شکل می توانیم انتخاب کنیم ، چونکه به عنوان مثال اگر k زوج باشد آنگاه :
و در نتیجه و نسبت به هم اول نیستند و همچنین برای بعضی مقادیر فرد k ، ممکن است قابل فاکتور گیری باشند.
پیمانه های انتخاب شده باید در حد امکان نزدیک به هم باشند و همچنین از انتخاب
پیمانه های خیلی بزرگ خودداری کنیم که رعایت این عوامل باعث کم شدن زمان اجرا
می شود.